Valor médio móvel exponencial em risco

Explorando A Volatilidade Médica Mover Ponderada Exponencialmente é a medida mais comum de risco, mas vem em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, consulte Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro.) Usamos os dados atuais do preço das ações da Googles para calcular a volatilidade diária com base em 30 dias de estoque de dados. Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Vs históricos. Volatilidade implícita Primeiro, colocamos essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é o prólogo que medimos a história na esperança de que seja preditivo. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora o histórico que resolve para a volatilidade implícita nos preços de mercado. Espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que de forma implícita, uma estimativa consensual da volatilidade. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites da Volatilidade.) Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), eles têm dois passos em comum: Calcule a série de retornos periódicos Aplicar um esquema de ponderação Primeiro, nós Calcule o retorno periódico. Isso geralmente é uma série de retornos diários, em que cada retorno é expresso em termos compostos continuamente. Para cada dia, tomamos o log natural da proporção dos preços das ações (ou seja, preço hoje dividido por preço ontem e assim por diante). Isso produz uma série de retornos diários, de u i to u i-m. Dependendo de quantos dias (m dias) estamos medindo. Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior (Usando o Volatility To Gauge Future Risk), mostramos que sob um par de simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados: Observe que isso resume cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pelo Número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos quadrados. Dito de outra forma, cada retorno quadrado recebe um peso igual. Então, se o alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, um 1m), então uma variância simples parece algo assim: O EWMA melhora a diferença simples. A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de Yesterdays (muito recente) não tem mais influência na variação do que o retorno dos últimos meses. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) apresenta lambda. Que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: por exemplo, RiskMetrics TM, uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar uma lambda de 0,94 ou 94. Neste caso, o primeiro ( Mais recente) o retorno periódico ao quadrado é ponderado por (1-0,94) (94) 0 6. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior neste caso 6 multiplicado por 94 5,64. E o peso do terceiro dia anterior é igual (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Esse é o significado de exponencial em EWMA: cada peso é um multiplicador constante (isto é, lambda, que deve ser inferior a um) do peso dos dias anteriores. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade dos Googles.) A diferença entre a simples volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo. A volatilidade simples efetivamente pesa cada retorno periódico em 0.196 como mostrado na Coluna O (tivemos dois anos de dados diários sobre o preço das ações. Isso é 509 devoluções diárias e 1509 0.196). Mas observe que a coluna P atribui um peso de 6, então 5.64, depois 5.3 e assim por diante. Essa é a única diferença entre variância simples e EWMA. Lembre-se: depois de somar toda a série (na coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar de tomar a raiz quadrada dessa variância. Qual é a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso do Googles. É significativo: a variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2,4, mas a EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1,4 (veja a planilha para obter detalhes). Aparentemente, a volatilidade de Googles estabeleceu-se mais recentemente, portanto, uma variação simples pode ser artificialmente alta. A diferença de hoje é uma função da diferença de dias de Pior. Você notará que precisamos calcular uma série longa de pesos exponencialmente decrescentes. Nós não vamos fazer a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que toda a série se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva: Recursiva significa que as referências de variância de hoje (ou seja, são uma função da variância dos dias anteriores). Você também pode encontrar esta fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo de longo prazo. A variação de hoje (sob EWMA) é igual a variância de ontem (ponderada por lambda) mais retorno quadrado de ontem (pesado por menos a lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos em conjunto: variância ponderada de ontem e atraso de ontem, retorno quadrado. Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como RiskMetrics 94) indica decadência mais lenta na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles vão cair mais devagar. Por outro lado, se reduzirmos a lambda, indicamos maior deterioração: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida deterioração, são usados ​​menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade). Resumo A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de um estoque e a métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variação historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variância simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples ao atribuir pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes. (Para ver um tutorial de filme sobre este tópico, visite a Tartaruga Bionica.) Classe de mestre: cálculo de valor em risco (VaR): etapas finais Abordagem de VaR Etapas específicas Cálculo de valor de risco de covariância de variação (VCV) (VaR) Este método pressupõe que Os retornos diários seguem uma distribuição normal. A partir da distribuição dos retornos diários, estimamos o desvio padrão (). O Valor de Risco em Valor diário (VaR) é uma função do desvio padrão e do nível de confiança desejado. No método Variance-Covariance (VCV), a volatilidade subjacente pode ser calculada usando uma média móvel simples (SMA) ou uma média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Matematicamente, a diferença está no método utilizado para calcular o desvio padrão (). Esta metodologia é especificada com mais detalhes abaixo. Determinando a volatilidade de SMA De acordo com a abordagem VCV-SMA Value at Risk (VaR), os retornos calculados nas etapas P4 ampP5 acima têm igual peso ao calcular a volatilidade subjacente dada pela seguinte fórmula: 8216n8217 representa o número de observações de retorno utilizadas nos cálculos . No nosso período de retrocesso, havia 5 taxas observadas. Isto resultou em 4 observações de retorno, isto é n 4 nas fórmulas acima. As etapas detalhadas para a volatilidade SMA são dadas abaixo: Passo A1: Calcule a média da distribuição. Soma os retornos sobre a série e divida pelo número de retornos na série. Para a série de retorno da carteira, isso é calculado da seguinte forma: Alternativamente, isso pode ser conseguido aplicando o Excel8217s 8220AVERAGE8221 à série de retorno. Passo A2: Calcule a variância da distribuição. Em cada ponto da série de retorno, calcule a diferença do retorno do Média calculada no passo A1 acima. Acertar o resultado e depois somar todas as diferenças ao quadrado. Divida a soma resultante pelo número de retornos na série menos um. Para a série de retorno da carteira, isto é o seguinte: Alternativamente, isso pode ser alcançado aplicando a função excel 8220VAR8221 à série de retorno Etapa A3: Calcule a volatilidade SMA A volatilidade diária do SMA é igual à raiz quadrada da variância calculada na etapa A2 Acima, ou seja, é o desvio padrão ou. Para a série de retorno de portfólio, é o seguinte: Alternativamente, isso pode ser alcançado aplicando a função excel 8220STDEV8221 à série de retorno. Determinando a Volatilidade EWMA. A abordagem SMA dá igual importância a todas as observações usadas no período de retrocesso e não representa a Fato de que a informação tende a decair ou tornar-se menos relevante ao longo do tempo. O método EWMA, por outro lado, dá mais importância às informações recentes e, portanto, coloca maior peso em retornos mais recentes. Isto é conseguido especificando um parâmetro. (0lt. Lt1) e colocando pesos exponencialmente decrescentes em dados históricos. A fórmula de variância EWMA é: Em geral, a metodologia EWMA coloca mais ênfase nos dados recentes, pois os pesos mais altos são atribuídos através da fórmula para dados mais recentes. No entanto, o. O valor determina a idade do peso dos dados na fórmula e o tamanho da amostra realmente considerado. Quanto menor o valor de. Quanto mais rápido o peso se deteriora. Se esperamos que a volatilidade seja muito instável, aplicaremos um baixo fator de decomposição (dando muito peso às observações recentes e considerando efetivamente uma amostra menor à medida que os pesos diminuem para zero mais rapidamente). Se esperamos que a volatilidade seja constante, aplicamos um alto fator de decaimento (dando pesos iguais às observações antigas). Como estamos usando um pequeno tamanho de amostra em nossa ilustração, usamos um. De 0,5. No entanto, um padrão da indústria é definir. Para 0,94. Passo B2: Determinação de pesos Como indicado na fórmula acima, os pesos são calculados em cada ponto de dados da seguinte maneira: Uma propriedade especial dos pesos utilizados na fórmula EWMA é que sua soma para infinito será sempre igual a 1. No entanto, não é Possível ter um conjunto infinito de dados históricos. Então, se a soma dos pesos não for próxima de um, então os ajustes precisam ser feitos. Esses ajustes incluem expandir o conjunto de dados ou o período de retrocesso para garantir que ele seja grande o suficiente para que essa soma de pesos seja próxima de 1 ou, em alternativa, os pesos devem ser redimensionados para que a soma seja igual a 1. Esse reescalonamento é conseguido pela divisão Os pesos calculados no Passo B2 por 1- n. Onde n é o número de observações de retorno. Isto é ilustrado em nosso exemplo da seguinte maneira: Pesos de pesos dimensionados (1- n) Etapa B4: Cálculo da variância EWMA O primeiro passo no cálculo da variância é calcular os quadrados dos retornos em cada ponto de dados. Em seguida, multiplique a série quadrada com os pesos aplicáveis ​​a esse ponto de dados e, em seguida, somem as séries quadradas ponderadas resultantes. Isso é ilustrado para as séries de retorno de portfólio abaixo: Etapa B5: Cálculo da volatilidade EWMA A volatilidade EWMA diária é obtida tomando a raiz quadrada do resultado no Passo B4 acima. Determinando o VaR diário de SMA e EWMA O Valor de Risco de Valor Diário (VaR) é simplesmente uma função do desvio padrão ou volatilidade e do nível de confiança desejado. Especificamente: Valor em Risco (VAR). Z-valor da distribuição cumulativa normal padrão correspondente a um nível de confiança especificado Por exemplo, para um nível de confiança de 99, o valor z é 2.326 (a função Excel8217s 8216NORMSINV (.99) pode ser usada para determinar o valor z) e o e o Valor diário em risco (VaR) 2.326. Para o nosso portfólio de amostras, o VCV Value at Risk (VaR) s no nível de confiança 99 trabalha para: Determinar Simulação Histórica diariamente Valor em Risco (VaR) A simulação histórica é uma abordagem não paramétrica de estimar o Valor em Risco (VaR), ou seja Os retornos não são submetidos a nenhuma distribuição funcional. O Valor em Risco (VaR) é estimado diretamente dos dados sem derivar parâmetros ou fazer suposições sobre toda a distribuição dos dados. Esta metodologia baseia-se na premissa de que o padrão de retorno histórico é indicativo de retornos futuros. S tep H1: série de retorno ordenada derivada no Passo P4 amp P5 O primeiro passo é pedir esses retornos diários em ordem crescente. Cada retorno encomendado corresponde a um número de índice. No nosso exemplo, esta é ilustrada da seguinte forma para a série de retorno do portfólio: R (ordenado em ordem crescente) Etapa H2: Determine o valor do índice correspondente ao nível de confiança 1- Isso é dado pelo número de observações de retorno (nível de confiança 1). O número resultante é truncado ou arredondado para baixo para um número inteiro, ou seja, se o número resultante for 1.6, o valor do índice será igual a 1. No nosso exemplo, no entanto, devido ao tamanho de dados pequeno, o número resultante resulta em 4 (1- 0,99) 0,04. Seguindo a metodologia, isso resulta em um número de índice de 0. No entanto, como este não é um número válido, o próximo número mais alto, i. e.1, será usado como o valor do índice em nosso exemplo. Passo H3: Identificar o valor histórico histórico em risco (VaR) O valor histórico a risco histórico (VaR) é o valor absoluto do retorno na série ordenada na Etapa H1 que corresponde ao valor do índice derivado no Passo H2. Para a série de retorno da carteira, este é o valor absoluto do retorno no índice número 1, ou seja, 0,5002 Escala do VaR diário Etapa S1: Determine o período de retenção O período de retenção é o tempo que levaria para liquidar a carteira de ativos no mercado. Em Basileia 2 para a maioria dos casos, um período de espera de dez dias é um requisito padrão. Etapa S2: Escalar o valor diário em risco (VaR) Para determinar o Valor em Risco (VaR) para um período de espera do J-dia, a regra da raiz quadrada será aplicada, ou seja, o VaR J do J-dia (VaR diário). Para o portfólio, o Holding VaR para cada abordagem é o seguinte: a perda máxima que poderíamos experimentar em nosso portfólio ao longo de um período de retenção de 10 dias com 99 probabilidades é de PKR 3.675,36 usando uma abordagem EWMA Value at Risk (VaR). Em outras palavras, há uma chance de as perdas excederem esse valor em um período de retenção de 10 dias. (Se você quiser comprar a versão pdf do curso Value at Risk juntamente com o arquivo EXCEL de suporte, consulte o nosso Valor Online em risco (VaR) e a loja de preços do IRS) Publicações relacionadas: Sobre o autor Jawwad Farid Jawwad Farid vem construindo E implementando modelos de risco e sistemas de back office desde agosto de 1998. Trabalhando com clientes em quatro continentes, ele ajuda os banqueiros, os membros do conselho e os reguladores a adotar uma abordagem relevante para o mercado de gerenciamento de riscos. Ele é o autor de Models at Work e Option Greeks Primer, ambos publicados pela Palgrave Macmillan. Jawwad é uma Fellow Society of Actuaries, (FSA, Schaumburg, IL), possui MBA da Columbia Business School e é graduado em ciência da computação de (NUCES RÁPIDO). Ele é um membro do corpo docente adjunto da SP Jain Global School of Management em Dubai e Cingapura, onde ensina Gestão de Riscos, Preços Derivativos e Empreendedorismo. Posts Populares.7.3 Média Mover Ponderada Exponencialmente (EWMA) 7.3.7 Média Mover Ponderada Exponencialmente Para conciliar os pressupostos de estimativa da média móvel uniformemente ponderada (UWMA) com as realidades da heterocedasticidade do mercado, podemos aplicar o estimador 7.10 apenas aos dados históricos mais recentes Tq. O que deve refletir mais sobre as atuais condições do mercado. Isso é autodestrutivo, pois aplicar o estimador 7.10 a uma pequena quantidade de dados aumentará seu erro padrão. Consequentemente, UWMA implica um dilema: aplicá-lo a muitos dados é ruim, mas também é aplicá-lo a um pouco de dados. Isto motivou Zangari (1994) a propor uma modificação da UWMA chamada estimativa da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Isto aplica uma ponderação não uniforme para dados da série temporal, de modo que uma grande quantidade de dados pode ser usada, mas os dados recentes são mais ponderados . Como o nome sugere, os pesos são baseados na função exponencial. A estimativa média móvel ponderada exponencialmente substitui o estimador 7.10 com onde o fator de decaimento geralmente é atribuído um valor entre 0,95 e 0,99. Os fatores de baixa deterioração tendem a pesar mais os dados recentes. Note-se que a estimativa da média móvel ponderada exponencialmente é amplamente utilizada, mas é uma modesta melhoria em relação à UWMA. Não tenta modelar a heterocedasticidade condicional de mercado mais do que UWMA faz. Seu esquema de ponderação substitui o dilema de quantos dados usar com um dilema semelhante quanto ao quanto um fator de decaimento agressivo é usado. Considere novamente a Exibição 7.6 e nosso exemplo da posição de USD 10MM é SGD. Permite estimativa 10 1 usando estimador médio móvel ponderado exponencialmente 7,20. Se usarmos .99, obtemos uma estimativa para 10 1 de .0054. Se usarmos .95, obtemos uma estimativa de .0067. Estes correspondem a resultados de valor de risco em posição de US $ 89.000 e US $ 110.000, respectivamente. A exibição 7.7 indica 30 dias de dados para CHF Libor de 1 mês. Exibição 7.7: Dados para CHF Libor de 1 mês. As taxas são expressas em porcentagens. Fonte: British Bankers Association (BBA).